Вертолеты.ру

Все предыдущие выводы можно обобщить и на системы с бесконечным числом степеней свободы. На практике часто встречаются задачи расчета изгибных колебаний балки. Масса балки распределена по ее длине, поэтому такая система является системой с бесконечным числом степеней свободы.

Чтобы определить положение каждой массы, необходимо задать прогиб как функцию координаты х, отсчитываемой вдоль оси балки. Для такой системы собственные частоты составляют бесконечную последовательность.

Их значения зависят от вида законов распределения по длине балки изгибной жесткости и погонной массы (массы участка балки единичной длины), а также от вида граничных условий. Граничными называются условия на концах балки, которым должны удовлетворять прогибы, углы поворота сечений, поперечные силы или моменты.

Для шарнирно опёртого конца балки даны примеры граничных условий для различных видов закрепления концов балки. В частности, если оба конца балки свободны, то на них граничных условий всегда должно быть четыре. Для однородной балки, у которой моменты постоянны по длине, собственные частоты определяют по аналогичной формуле.

Каждой собственной частоте соответствует собственная форма— закон распределения относительных амплитуд колебаний по длине балки. Для собственной формы колебаний однородных балок с граничными условиями, собственные частоты увеличиваются с увеличением жесткости и уменьшением погонной массы и, наоборот, уменьшаются с уменьшением жесткости и увеличением погонной массы.

Такой же вывод справедлив и для балки с неравномерным распределением этих характеристик по длине и, вообще, для любой упругой системы, но с тем ограничением, что при изменении жесткости или массы на отдельных участках системы некоторые собственные частоты не изменяются. Исключением являются вращающиеся системы, например, лопасть. Добавление массы может привести как к увеличению, так и к уменьшению той или иной собственной частоты.

Отметим, что для граничных условий есть также нулевые собственные частоты. При этом балка отклоняется от положения равновесия как абсолютно жесткое тело (не изгибаясь). Шарнирно опертая одним концом балка поворачивается вокруг шарнира, а если оба конца свободны, то движется поступательно и поворачивается. В целом, в собственных колебаниях балки присутствуют гармоники с собственными частотами.

Интенсивность колебаний по каждой гармонике определяется начальными условиями: отклонениями и скоростями в начальный момент времени. Распределение амплитуд каждой гармоники по длине балки определяется соответствующей собственной формой.